Divisão proporcional

Concurso- Correios- Operador de Triagem e Transbordo- 2008- CORREIOS/RN CONSULPLAN- Nivel Médio

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22) João tem 9 anos, Pedro tem 6 anos e Júlia tem 2 anos. Eles receberam de seu pai R$850,00 que foram repartidos em quantias diretamente proporcionais as suas idades. Então, pode-se afirmar que:


A) Pedro recebeu a metade da quantia que Júlia recebeu.
B) João recebeu o dobro da quantia que Pedro recebeu.
C) Júlia recebeu um terço da quantia que Pedro recebeu.
D) João, Pedro e Júlia receberam, respectivamente, R$150,00 ; R$400,00 ; R$300,00.
E) N.R.A.


Vamos lá

precisamos dividir a quantia de R$850,00 em partes diretamente proporcionais a 9, 6 e 2 que são as idades das crianças, veja, diretamente proporcional significa, neste caso, quando a idade aumenta o valor aumenta, quando a idade diminui o valor diminui.

para resolver problemas assim utilizamos uma das propriedades das razões e proporções, darei um exemplo mais simples antes:

se temos:



então:



porque 12+3 = 15 e 2+8 = 10
15/10 = 1,5

e vejam, 12/8 = 1,5

poderiamos também dizer que:



pois 3/2 = 1,5

existe uma demonstração para tal propriedade porém não vou postá-la aqui pois não é relevante para o exercícios, caso queiram ela peçam que a colocarei num post separado
agora vamos aplicar essa propriedade no nosso exercício

João = x(o valor que joão vai receber chamaremos de x)
Pedro = y(o valor que pedro vai receber chamaremos de y)
Julia = z(o valor que júlia vai receber chamaremos de z)

como tais valores tem de ser proporcionais, temos as seguintes frações:

x/9 (x está para 9 , pois é a idade de joão)

y/6 (y está para 6, pois é a idade de pedro)

e

z/2 (z está para 2, pois é a idade de julia

os valores são proporcionais ou seja, podemos igualar todas essas frações:


sabemos também que x+y+z=850

utilizamos a nossa propriedade:

igualamos primeiro a fração que tem o x pois é ele que acharemos primeiro:

como x+y+z = 850

(850/17) = (x/9)

850/17 é igual a 50

então

50=x/9

x=450

para achar y:

50=y/6

y=300

para achar z:

50=z/2

z=100

ou seja, João recebeu R$450,00, Pedro recebeu R$300,00 e Júlia recebeu R$100,00

verificando a respostas a correta é a letra C:

C) Júlia recebeu um terço da quantia que Pedro recebeu.

Pessoal divisão proporcional é um assunto não muito simples, o recomendável é fazer MUITOS exercícios para ficar bom

Qualquer dúvida postem

Abraços.

Informe

Olá pessoal
depois de muito tempo venho reativar o blog e a comunidade do orkut, infelizmente tudo ficou parado devido a problemas pessoais. Percebi que existiam varios comentários e perguntas nos posts, porém como são antigos seria irrelevante eu respondê-los agora, por favor caso alguem ainda tenha dúvidas sobre os exercícios que já foram resolvidos faça um novo post, ou para quem tem novas questões que apresentam dúvidas, poste na comunidade do orkut.
Peço desculpas desde já.
Obrigado
Abraços

Operações com Potências

a) (-9)²

(-9)*(-9) = +81

b) (+4)^5 = 4*4*4*4= 256

c) (-1/2) + (-1/2)

como os denominadores são iguais soma os numeradores:

(-1-1)/2 = -2/2 = -1

d) 2³ x 2à 4 potência :2²

utilizamos a propriedade das potências
primeiro a multiplicação de potências de mesma base, somamos os expoentes:
2³*2^4 = 2^7

divisão de potências de mesma base, subtraimos os expoentes:

(2^7)/ (2²)^= 2^5

e) [(3/5)²]à 6 potência + [(3/5)³]à 4 potência

vamos lá:

multiplicamos na primeira fração a potência 6 que esta fora pela potência 2 que está dentro e na segunda fração a potência 4 pela potência 3:

(3/5)^12 + (3/5)^12
= 2*(3/5)^12

i) [(-0,4)³]²

(-4/10)^6
= 4096/1000000

Qualquer dúvida só postar

Bons estudos

Conjuntos

elementos de R:
como pertencem aos naturais e são menores ou iguais a 8:

R={0,1,2,3,4,5,6,7,8}

elementos de S:
como pertencem aos naturais e são maiores do que 5:

S={6,7,8,9,10,11,12....}


B) A= { x E Z / -4 < b=" {">

elementos de A:
como pertencem aos inteiros e -4 menor ou igual a x e x menor ou igual a +4:

A={-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4}

elementos de B:
como pertencem aos inteiros e -2 menor do q x e x menor ou igual a 6:

B={-1,0,+1,+2,+3,+4,+5,+6}

Questão dos Operários[Regra de Três Composta]

Uma obra foi terminada em 20 dias, por 12 pedreiros que trabalhavam 6h por dia. Em quantos dias 8 pedreiros, igualmente eficientes, terminarão a mesma obra trabalhando 8 horas por dia?

Vamos lá, temos um exercício de regra de três composta, ou seja, não é uma regra de três simples.

Primeiramente colocamos os valores com suas respectivas legendas:

dias ----------------pedreiros---------horas por dia

20----------------------12-------------------6

x------------------------8--------------------8

ai a primeira coisa que fazemos é colocar a parte que tem x isolada, assim:

20/x=

ai vamos analisar a parte que tem o x com cada uma das informações

comparando número de dias com a quantidade de pedreiros, quanto mais pedreiros eu tiver menos dias eu preciso para concluir a obra, ou seja, quando eu aumento o número de pedreiros eu diminuo o número de dias, elas são grandezas inversamente proporcionais, sempre mantenho a parte que tem o x normal e inverto a outra quando são inversamente proporcionais:

20/x=8/12

agora vamos para a outra:

comparando número de dias com horas trabalhadas por dia, quanto mais horas por dia eles trabalharem menos dias precisaram para concluir um mesmo serviço, então quando eu aumento as horas por dia eu diminuo o número de dias, são grandezar inversamente proporcionais, vou mandar a parte que tem x e inverter a outra, sendo que essa estará multiplicando a minha última comparação:

20/x=(8/12)*(8/6)

a regra de três composta sempre será montada com a parte que tem x no primeiro membro e o segundo membro será o resto das informações sendo que elas estarão multiplicadas entre si de acordo com a proporcionalidade que foi analisada anteriormente:

vamos lá

20/x=(8/12)*(8/6)

simplificando:

20/x=(4/3)*(2/3)

20/x=8/9

multiplicando em cruz:

8x=180

x=22,5 dias

Resposta: 22,5 dias ou 22 dias e 12 horas

Qualquer dúvida postem

Bons estudos

Questão da Distância das cidades(Teorema de Pitâgoras)

Duas cidades, A e B, estão interligadas por uma
rodovia reta que mede 24 km. O lixo recolhido
dessas cidades é depositado em um aterro
sanitário distante, em linha reta, 13 km de ambas
as cidades. O acesso a esse aterro, a partir da
rodovia que liga as duas cidades, é feito por uma
estrada, também reta, que cruza essa rodovia
perpendicularmente.
Com base nessas informações, é correto afirmar
que para ir de uma dessas cidades até o aterro,
fazendo todo o percurso pela rodovia e pela
estrada de acesso, é necessário percorrer no
mínimo:
a) 17 km c) 15 km e) 13 km
b) 16 km d) 14 km

Vamos lá, desenhando fica mais fácil:

para descobrir qual o valor do percurso até o aterro à partir de qualquer uma das cidades temos que fazer 12+x

para encontrar o x usamos o teorema de pitâgoras (confira a demonstração do teorema neste link, http://www.matematicaparaconcursos.co.cc/2010/11/demonstracao-do-teorema-de-pitagoras.html )

então temos:

13²=12²+x²

169-144=x²

25=x²

x=5

ou seja, somamos 12 com 5 = 17

Resposta: 17 km (Letra A)

Raiz Cúbica

³√(x+1)=2

eleve ambos os termos ao cubo para retirar a raiz:

[³√(x+1)]³=2³

isole o x:

x+1=8

x=8-1

x=7

Resposta: 7

Qualquer dúvida postem

Bons estudos

Questão dos Municípios

Em uma campanha de arrecadação de alimentos, foram obtidas 24,6 toneladas de arroz. O total de arroz obtido será enviado para dois municípios em proporção direta às suas populações, que são 167 mil e 243 mil habitantes. Qual o município que obterá a menor quantidade de arroz?

Vamos lá!

Primeiramente iremos montar a primeira equação, bom, são dois municípios e 24,6 toneladas serão divididas entre eles então:

x + y = 24,6

Como serão divididas em partes diretamente proporcionais então montaremos uma proporção das partes com as populações

x/167 = y/243

Agora utilizaremos uma propriedade da razão e proporção que é assim

a/b = c/d = a+c/b+d

No nosso caso ficaria assim

x/167 = y/243 = x+y/410

Note que temos um sistema de equações

1ª equação x + y =24,6

2ª equação x/167 = x + y/410

3ª equação y/243 = x + y/410

4ª equação x/167 = y/243

Vamos utilizar a primeira e a segunda, mas já iremos substituir o x + y do segundo membro da segunda equação por 24,6, ficará assim

x/167 = 24,6/410

Multiplicando em cruz

410x = 4108,2

x = 10,02

Agora substituiremos o x na primeira equação

10,02 + y = 24,6

y = 14,58

Como x e y são as quantidades de toneladas que cada município irá receber, então o município que irá receber menos quantidade de alimentos é o que tem a população de 167 mil habitantes.

Abraços, qualquer dúvida postem.

Demonstração do Teorema de Pitágoras

Olá meus amados, hoje demonstraremos o tal conhecido Teorema de Pitágoras, é uma linda demonstração, Vamos lá:

Pitágoras, como era um geômetra, partiu de um desenho geométrico para provar seu Teorema:

Ele colocou um quadrado dentro de outro quadrado como no desenho acima.

Depois percebeu que a área do quadrado maior era igual a área do quadrado menor mais a área dos quatro triângulos, e ainda percebeu que todos os triângulos formados eram retângulos, porque possuíam um ângulo reto ( 90 graus ).

Logo após começou a calcular as áreas das figuras envolvidas.

Para calcularmos a área do quadrado multiplicamos os dois lados então fica lado ao quadrado (l²).

Para calcularmos a área do triângulo multiplicamos a base pela altura e depois dividimos por 2 (b.h/2).

O lado do quadrado maior é a + b então sua área é (a + b).(a +b).

O lado do quadrado menor é c então sua área é c².

Como todos os triângulos são iguais, vamos calcular a área de um deles e depois multiplicaremos por 4 e teremos a área de todos.

A base do triângulo é a e a altura é b, então a sua área é a.b/2.

Multiplicando por 4 temos 4 a.b/2, simplificando 2 a.b.

Depois de calcular as áreas de todas as figuras envolvidas, ele montou uma equação:

(a + b).(a + b) = c² + 2ab

Agora percebam, no primeiro membro nós temos um trinômio quadrado perfeito:
ou seja, (a + b).(a + b) = (a +b)² = a² + 2ab + b²
ou seja, se você resolver (a + b).(a + b) resulltará a² + 2ab + b².

Então nossa equação ficou assim:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Notem que temos 2ab no primeiro membro e no segundo membro também então podemos cancelar, pois 2ab - 2ab = 0

a² + 2ab - 2ab+ b² = c²

a² + b² = c²

Os lados a e b são os catetos do triângulo retângulo pois formam um ângulo reto (90 graus).

O lado c é a hipotenusa do triângulo retângulo pois é o lado oposto ao ângulo reto (90 graus).

Como a² + b² = c² , então a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

e foi assim que Pitágoras demonstrou seu Teorema.

Qualquer Dúvida Postem

Bons estudos

Soma dos Termos da P.G

Questão 1 - É dada a P.G (1,1/2, 1/4, ...).
A) verificar que a soma dos seis primeiros termos é inferior a 2.

B) a soma dos seus 11 primeiros termos supera 2?

Vamos lá,

nossa PG é 1,1/2,1/4...
ou seja, nossa razão é 1/2

pois 1*1/2 = 1/2

q=1/2

vamos verificar se a soma dos 6 primeiros termos é inferior a 2:

fórmula da soma da PG:

Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)

substituindo:

S6=(1-1*(1/2)^6)/(1-1/2)

S6=(1-1*1/64)/(1/2)
S6=(1-1/64)/(1/2)
S6=(63/64)*(2/1)
S6=126/64
S6=1,96875

confirmamos então que a soma dos 6 primeiros termos é menor do que 2, essa é a resposta da Letra A

agora vamos verificar se a soma dos 11 primeiros termos supera 2:

S11=(a1-a1*q^n)/(1-q)

S11=(1-1*(1/2)^11)/(1-1/2)

S11=(1-1/2048)/(1/2)

S11=(2047/2048)*(2/1)
S11= 4094/2048

S11=1,9990

ou seja, a soma dos 11 primeiros termos não supera 2

Essa é a resposta da Letra B

Qualquer Dúvida Postem

Bons estudos