Demonstração do Teorema de Pitágoras

Olá meus amados, hoje demonstraremos o tal conhecido Teorema de Pitágoras, é uma linda demonstração, Vamos lá:

Pitágoras, como era um geômetra, partiu de um desenho geométrico para provar seu Teorema:

Ele colocou um quadrado dentro de outro quadrado como no desenho acima.

Depois percebeu que a área do quadrado maior era igual a área do quadrado menor mais a área dos quatro triângulos, e ainda percebeu que todos os triângulos formados eram retângulos, porque possuíam um ângulo reto ( 90 graus ).

Logo após começou a calcular as áreas das figuras envolvidas.

Para calcularmos a área do quadrado multiplicamos os dois lados então fica lado ao quadrado (l²).

Para calcularmos a área do triângulo multiplicamos a base pela altura e depois dividimos por 2 (b.h/2).

O lado do quadrado maior é a + b então sua área é (a + b).(a +b).

O lado do quadrado menor é c então sua área é c².

Como todos os triângulos são iguais, vamos calcular a área de um deles e depois multiplicaremos por 4 e teremos a área de todos.

A base do triângulo é a e a altura é b, então a sua área é a.b/2.

Multiplicando por 4 temos 4 a.b/2, simplificando 2 a.b.

Depois de calcular as áreas de todas as figuras envolvidas, ele montou uma equação:

(a + b).(a + b) = c² + 2ab

Agora percebam, no primeiro membro nós temos um trinômio quadrado perfeito:
ou seja, (a + b).(a + b) = (a +b)² = a² + 2ab + b²
ou seja, se você resolver (a + b).(a + b) resulltará a² + 2ab + b².

Então nossa equação ficou assim:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Notem que temos 2ab no primeiro membro e no segundo membro também então podemos cancelar, pois 2ab - 2ab = 0

a² + 2ab - 2ab+ b² = c²

a² + b² = c²

Os lados a e b são os catetos do triângulo retângulo pois formam um ângulo reto (90 graus).

O lado c é a hipotenusa do triângulo retângulo pois é o lado oposto ao ângulo reto (90 graus).

Como a² + b² = c² , então a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

e foi assim que Pitágoras demonstrou seu Teorema.

Qualquer Dúvida Postem

Bons estudos

Soma dos Termos da P.G

Questão 1 - É dada a P.G (1,1/2, 1/4, ...).
A) verificar que a soma dos seis primeiros termos é inferior a 2.

B) a soma dos seus 11 primeiros termos supera 2?

Vamos lá,

nossa PG é 1,1/2,1/4...
ou seja, nossa razão é 1/2

pois 1*1/2 = 1/2

q=1/2

vamos verificar se a soma dos 6 primeiros termos é inferior a 2:

fórmula da soma da PG:

Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)

substituindo:

S6=(1-1*(1/2)^6)/(1-1/2)

S6=(1-1*1/64)/(1/2)
S6=(1-1/64)/(1/2)
S6=(63/64)*(2/1)
S6=126/64
S6=1,96875

confirmamos então que a soma dos 6 primeiros termos é menor do que 2, essa é a resposta da Letra A

agora vamos verificar se a soma dos 11 primeiros termos supera 2:

S11=(a1-a1*q^n)/(1-q)

S11=(1-1*(1/2)^11)/(1-1/2)

S11=(1-1/2048)/(1/2)

S11=(2047/2048)*(2/1)
S11= 4094/2048

S11=1,9990

ou seja, a soma dos 11 primeiros termos não supera 2

Essa é a resposta da Letra B

Qualquer Dúvida Postem

Bons estudos

Lucro da Empresa(Função do 2º Grau)

O lucro mensal L de uma empresa, em reais, obtido com a venda de uma unidade de certo
produto é dado pela função L(x) = x – 5, sendo x o preço de venda do produto e R$ 5,00 o preço
de custo. A quantidade Q vendida mensalmente depende do preço x do produto e é dada por
Q(x) = 120 – x.
Para a empresa obter o lucro máximo no mês, em reais, o preço de venda do produto é um
número do intervalo de
A) 33 à 50.
B) 51 à 65.
C) 66 à 72.
D) 73 à 80.

Vamos lá, o lucro total é dado pelo produto das frações pois cada unidade de um lucro L(x) e eles vendem Q(x) unidades, então:

Lucro total= L(x)*Q(x) = (x-5)(120-x) = 120x-x²-600+5x = -x²+125x-600

essa é uma função do segundo grau e como o coeficiente do x² é negativo ela admite um valor máximo e como queremos saber o preço de venda de x que admite um lucro máximo calculamos o x do vértice:

xv=-b/2a

xv=-125/2(-1)

xv=62,5

Resposta: R$62,5(Letra B)

Questão da Medalha(Volume do Cilindro)

As medalhas, com 70 milímetros de diâmetro e 6 milímetros de espessura, incluirão em seu
desenho os cinco anéis olímpicos, o logotipo e o emblema dos jogos de Pequim 2008, e terão
nas fitas que as prendem um desenho de nuvens e dragões (...)
Último Segundo
Sabendo-se que a medalha olímpica é feita de metais, entre eles o cobre chileno, de base circular e com
as dimensões citadas no texto acima, o volume de metais de cada medalha CORRESPONDE a
A) 6,89 π cm3.
B) 7,00 π cm3.
C) 7,35 π cm3.
D) 8,02 π cm3.

Vamos lá, temos então a nossa medalha que seria um cilindro, com as seguintes dimensões:

70 mm de diâmetro

6mm de espessura

desenhe para visualizar melhor:

temos que calcular o volume dessa medalha:

como ela é um cilindro usamos a fórmula do volume do cilindro que é:

Vc=Ab*h (volume do cilindro = área da base vezes a altura)

a base é um círculo e para calcular a área do círculo usamos a seguitne fórmula:

Ac=∏r² (pi vezes raio ao quadrado)

perceba que todas as respostas estão em cm³ então transformaremos primeiro nossas medidas para centímetros

70mm = 7 cm

e

6mm = 0,6 cm

se tiver dúvidas em como fazer isso monte a tábua de unidades:


km hm dam m dm cm mm

coloque seu número com a vírgula na unidade adequada, no caso o milímetro:

perceba que 70 = 70,0

km hm dam m dm cm mm
7 0,

troque a vírgula para a unidade que você deseja:

km hm dam m dm cm mm
7, 0

ou seja, 70mm = 7 cm

proceda da mesma forma para a espessura.

voltando para a fórmula:

Ac=∏r²

como temos o diâmetro para acharmos o raio dividimos ele por 2

lembre-se:
raio é igual a metade do diâmetro

então:

7/2 = 3,5 cm

aplicando na fórmula:

Ac=∏r²
Ac=∏(3,5)²
Ac=12,25∏cm²

aplicando na nossa fórmula do volume:

V=Ab*h

V=12,25∏cm²*0,6cm
V=7,35∏cm³

Resposta: 7,35∏cm³ (Letra C)

Demonstração da Fórmula de Báskara

Olá meus amados, hoje demonstraremos a tal conhecida fórmula de báskara, é uma linda demonstração, Vamos lá:

pegamos a função de segundo grau

ax²+bx+c=0

multiplicamos 4a pelos dois membros:

4a(ax²+bx+c)=4a*0

4a²x²+4abx+4ac=0

passamos o 4ac para o segundo membro:

4a²x²+4abx=-4ac

somamos b² aos dois termos:

4a²x²+4abx+b²=b²-4ac

agora percebam, no primeiro membro nós temos um trinômio quadrado perfeito:

ou seja, 4a²x²+4abx+b² = (2ax+b)² = (2ax+b)(2ax+b)

ou seja, se você resolver (2ax+b)(2ax+b) voltará para o 4a²x²+4abx+b²

então:

(2ax+b)²=b²-4ac

passando o expoente 2 para o segundo membro como raiz:

2ax+b=±√(b²-4ac)

2ax=-b±√(b²-4ac)

x=-b±√(b²-4ac)/(2a)

e foi assim que báskara isolou o x na equação de 2º Grau

Qualquer Dúvida Postem

Bons estudos

Teoria(operações com frações)

Vamos lá, hoje colocarei para vocês uma pequena teoria sobre frações:

2/5 (2 dividido por 5 é uma fração)

x/y (x dividido por y é uma fração)

numa fração temos um numerador(fica emcima) e um denominador(fica embaixo).

Vamos a algumas operações com frações;

Soma de frações:

para somar frações precisamos de apenas uma coisa, que os denominadores(aqueles que ficam embaixo) de nossas frações sejam iguais, ai somente somaremos os numeradores(aqueles que ficam emcima), por exemplo:

(2/3)+(5/3) = 7/3

porém, na maioria dos exercícios você terá uma soma de frações em que o denominador é diferente

por exemplo:

(2/3)+(5/2)

e agora josé?

bom, temos um modo prático de resolver isso, tiramos o mmc dos dois números, ai usamos a velha regra da tia da escola "divide pelo debaixo e multiplica pelo decima", vejam;

MMC de 3 e 2:

ou seja, o mmc de 2 e 3 é 6
colocamos ele como denominador de nossas frações iniciais, então dividimos ele pelo "debaixo" e multiplicamos pelo "decima" da seguinte forma:

[(2*2)+(3*5)]/6

ou seja, 6 dividido por 3 é igual a 2, o resultado multiplica-se por 2.
6 dividido por 2 é igual a 3, o resultado multiplica-se por 5.

porém, acho interessante vocês entenderem porque isso acontece.

vejam, peguemos a primeira fração

2/3 (2 dividido por 3)

se nós multiplicamos isso por 1, muda alguma coisa?
Não, não muda
2/3*1 = 2/3

e se a segunda fração:

5/2*1 = 5/2
não muda nada

e nós multiplicaremos por 1, só que será um "1" diferente, na primeira fração multiplicaremos por 2/2(2 dividido por 2) que é 1 escrito de uma forma diferente, e na segunda multiplicaremos por 3/3 que também vale 1
porquê multiplicar exatamente por essas frações?
porque veja, o denominador da primeira é 3, multiplicando por 2 ficará 6
o denominador da segunda é 2, multiplicando por 3 ficará 6
nós multiplicamos emcima pelo mesmo número que está embaixo para não alterar o valor da fração, ou seja, estamos multiplicando por 1.

Ai você dirá "mas 2/3 multiplicado por 2/2 é igual a 4/6 que é diferente de 2/3"
não, é exatamente a mesma coisa
estamos trabalhando com frações proporcionais, perceba que se dividir 2/3 encontrará o mesmo resultado de dividir 4/6.
então temos:
(4/6)+(15/6) = 19/6


é assim que se soma frações.

na subtração de frações usa-se o mesmo método decima só que o sinal é de menos.

Multiplicação de frações:

quando multiplicamos duas frações basta multiplicar o decima pelo decima e o debaixo pelo debaixo
exemplo:

(2/3)*(5/2) = 10/6

Sem mistério....

Divisão de frações:

aqui tem um esquema especial, vejam, como a divisão é o inverso da multiplicação, quando tivermos uma divisão de frações escreveremos novamente a primeira e faremos ela multiplicada pelo inverso da segunda, assim:

(2/3) / (5/2)

e procedemos normalmente a multiplicação

(2/3)*(2/5) = 4/15

Por enquanto é isso, Qualquer dúvida Postem e caso estejam buscando uma teoria em especial podem deixar como comentário ou colocar no tópico de teorias da comunidade no orkut.
Bons estudos.

Diferença dos 2/3 e 3/8

calcular o número cuja diferença entre seus 2/3 e seus 3/8 é 28

Vamos lá, chamaremos nosso número de x
sabemos que a diferença entre seus 2/3 e seus 3/8 é 28, então:

(2/3)*x - (3/8)*x = 28
tirando o mínimo de 3 e 8 obtemos 24, ai dividindo pelo debaixo e multiplicando pelo decima:

(16x-9x)/24=28

7x=28*24
x=4*24
x=96

Resposta: 96

Qualquer dúvida Postem
Bons estudos

Regra de Três Composta

O dono de uma fabrica de sucos tem 15 funcionarios que trabalham 8 horas por dia e produzem 120 embalagens de suco .P/ aumentar a produção em 360 embalagens de suco por dia, a fabrica passou a funcionar 9hrs pro dia e contratou mais funcionarios.
Quantos funcionarios foram contratados?

Vamos lá, essa é uma questão de regra de três composta.

montando temos:

func. ------------h/p dia-----------embalagens
15----------------8--------------------120
x------------------9--------------------360



traduzindo, 15 funcionários trabalhando 8 horas por dia produzem 120 embalagens
x funcionários trabalhando 9 horas por dia produzem 360 embalagens.

agora temos que verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais:

tomamos como base sempre o que tiver o x
então, relacionando o número de funcionários com as horas trabalhadas por dia, se eu tiver mais funcionários eles terão que trabalhar mais ou menos horas por dia para produzir uma determinada quantidade de embalagens? ora, se eu tenho mais funcionários eles tem que trabalhar menos horas, ou seja, quando eu aumento o número de funcionários eu diminuo o número de horas trabalhadas, elas são inversamente proporcionais.

então mantemos a parte que tem o x e invertemos a parte das horas, assim:

15----------------9---------------- 120
x------------------8----------------360


agora relacionando o número de funcionários com o número de embalagens, se tivermos mais funcionários iremos fazer mais ou menos embalagens? se temos mais funcionários faremos mais embalagens, ou seja, quando eu aumento o número de funcionários eu aumento o número de embalagens, elas são diretamente proporcionais então eu as mantenho:


15-----------------9--------------------120
x-------------------8-------------------360


agora montamos a proporção, colocamos a parte que tem o x no primeiro membro e igualamos as outras razões sendo que estão estaram sendo multiplicadas, observe:

(15/x) = (9/8)*(120/360)

simplifique por 120:

(15/x)=(9/8)*(1/3)

simplifique por 3:

(15/x )= (3/8)

multiplique em cruz
3x=120
x=40 funcionários

como a pergunta é quantos funcionários foram contratados e já haviam 15 funcionários
fazemos:
40-15= 25

Resposta: Foram Contratados 25 funcionários

Equação do Primeiro Grau

Se eu adicionar 8 à quantidade de carrinhos que possuo, ficarei com a mesma quantidade de carrinhos de meu irmão, se dos 28 que ele possui, for retirada a quantidade que eu possuo. Quantos carrinhos eu tenho??


Vamos lá, vamos considerar a quantidade de carrinhos que eu possuo de x
se eu adicionar 8 a quantidade de carrinhos que eu possuo:
X+8

ficarei com a mesma quantidade de carrinhos de meu irmao se desses 28 for retirada a quantidade de carrinhos que eu possuo
então:
X+8=28-X
X+X=28-8
2x=20
x=10

Resposta: 10 carrinhos

Comprei 7,5KG de um produto e recebi um troco de 1,25. Caso eu tivesse comprado 6KG. O troco teria sido de R$5,00. Quanto dei de dinheiro para pagar a mercadoria?

Vamos lá


comprando 7,5 kg ele teve um troco de R$1,25 e se comprasse 6 kg com o mesmo dinheiro teria R$5,00 de troco, então:

7,5kg-------------------1,25 de troco
6 kg--------------------5,00 de troco

perceba a variação:

de 6 para 7,5 = 7,5-6 = 1,5 kg
de 5 para 1,25 = 5-1,25 = 3,75

ou seja, 1,5 kg custa R$ 3,75

como queremos saber quanto de dinheiro ele deu, fazemos uma regra de três:

1,5kg------------------R$3,75
7,5kg---------------------X
1,5X=28,125
x=28,125/1,5
x=18,75

ou seja esse é o preço d e7,5 kg, como teve 1,25 de troco:
18,75+1,25 = 20 reais

caso você queira ver se está correto, faça uma regra de três para encontrar o preço de 1 kg

1,5 kg-----------------------R$3,75
1 kg--------------------------X
1,5X=3,75
x=3,75/1,5
X=R$2,5

ou seja, o quilo custao 2,5 reais
em 7,5 kg
7,5*2,5 = 18,75
se ele pagar com 20 reais terá um troco de:
20-18,75 = 1,25

se comprar 6 kg:
6*2,5 = 15 reais
se pagar com 20 terá um troco de:
20-15 = 5 reais

Resposta: 20 reais

Qualquer dúvida Postem
Bons estudos

Questão do Vazamento de Combustível

Um vazamento de combustível não foi devidamente cuidado no início e acabou aumentando progressivamente. O que começou com uma gota diária acabou dobrando o volume a cada dia. Considerando-se que 2 elevado a 14 gotas equivalem a um litro, determine a quantidade de litros que vazou no dia 20.

Vamos lá

vou fazer uma tabela:

dia gotas

1 1 =2^0
2 2=2^1
3 4=2^2
4 8=2^3

nem precisamos fazer o resto, percebemos então que no dia 20 o total de gotas será igual a 2^19

e como ele nos disse que 2^14 gotas equivale a 1 litro fazemos uma regra de três

2^14----------------------1 litro
2^19----------------------x
2^14*x-------------------2^19
x=(2^19)/(2^14) (utilizem a propriedade das potências em que, na divisão de potências de mesma base a base se mantém e subtrae-se os expoentes)

x=2^5
x=32 litros

Qualquer dúvida postem
Bons estudos