Progressão Geométrica

Determine a razão de uma P.G. com 4 termos em que a soma dos termos extremos é 112 e a soma dos termos médios é 48:

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Pessoal, este é um exercício a nível de vestibular, não de concursos, porém para quem gosta de matemática, nele existem muitos artifícios interessantes.

Vamos dar uma relembrada em progressões

temos a progressão aritmética e a progressão geométrica

Na progressão aritmética temos uma sequência em que o segundo termo é igual ao primeiro mais uma razão, normalmente representada por r, como no exemplo

2,5,8,11,14,17

ou seja, o primeiro termo é 2

o segundo é 5 que é 2 mais 3

o terceiro é 8 que é 5 mais 3

e assim por diante

ou seja, a razão é 3

podemos escrever uma P.A então como

(a1,a1+r,a1+2r,a1+3r....)

Na progressão geométrica existe uma diferença, em vez de somarmos a razão nós multiplicamos o termo anterior por ela

por exemplo

2,6,18,54,162,486

ou seja

o primeiro termo é 2

o segundo é 6 que é 2 vezes 3

o terceiro é 18 que é 6 vezes 3

e assim por diante

ou seja, a razão é 3

podemos escrever uma PG então como:

(a1,a1*q,a1*q^2,a1*q^3...)

Voltando ao exercício...

ele nos deu uma P.G de quatro termos

Voltando ao Exercício:

ele nos deu uma P.G de 4 termos

ou seja

a1,a2,a3 e a4

e temos que:

a1 = a1

a2 = a1*q

a3=a1*q^2

a4=a1*q^3

podemos escrever então nossa P.G da seguinte forma:

a1,a1*q,a1*q^2,a1*q^3

ele nos disse também que a soma dos extremos é 112

então:

a1+a4=112

ou seja:

a1+a1*q^3=112

e também que os termos médios tem soma igual a 48

então:

a2+a3=48

a1*q+a1*q^2=48

trabalhando com a primeira

a1+a1*q^3=112

colocando o a1 em evidência(fatorando)

a1(1+q^3)=112

a1=112/(1+q^3)

trabalhando com a segunda

a1*q+a1*q^2=48

a1(q+q^2)=48

a1=48/(q+q^2)

como a1=a1

então

[112/(1+q^3)]=[48/(q+q^2)

(112/48)=(1+q^3)/(q+q^2)

(7/3)=(1+q^3)/(q+q^2)

multiplicando os extremos pelos meios

3(1+q^3)=7(q+q^2)

3(1+q)(1-q+q^2)=7q+7q^2

pessoal, na linha de cima usei uma fatoração que se chama a soma dos cubos, caso alguém tenha dúvida poste que depois farei uma teoria sobre isso, e fiz a distributiva do 7 e irei fatorá-lo novamente para aparecer 1+q, vocês verão porque:

3(1+q)(1-q+q^2)=7q(1+q)

como temos 1+q de um lado e 1+q do outro nós cancelamos

e fica:

3(1-q+q^2)=7q

3-3q+3q^2 = 7q

3q^2-3q-7q+3=0

3q^2-10q+3=0

resolvendo por báskara:

delta=b^2-4*a*c

delta = (-10)^2-4*3*3

delta=100-36

delta=64

q=[-b+-sqrt(delta)]/(2a)

q=(+10+-8)/6

q1=(10+8)/6

q1=3

q2=(10-8)/6

q2 = 1/3

Resposta: 3 ou 1/3, como não tem 1/3 na resposta, sobra somente o 3, Letra E

Qualquer Dúvida Postem, Bons estudos.